El ruido, como esta ya comentado, es la válvula descompresora. La pieza es como un "gatillo", que funciona por fuerza centrifuga/centripeta, que mientras no coge ciertas revoluciones durante el arranque, provoca que las válvulas de escape se habrán a cada giro, para eliminar la compresión y así el motor comience a girar mas rápidamente y el motor de arranque no sufra.
El problema viene en que el régimen de "conmutacion" o threshold en el que la válvula deja de actuar, es muy cercano al régimen de ralenti. Mas que cercano, en algunos casos diría que es el mismo y el click que se oye es el "gatillo" accionándose (de hecho, pega un pequeño meneo el motor). Por eso cuando el motor esta frío, que el régimen de ralenti esta mas alto, no lo hace. También, en c liente, cuando aceleras un pelin, para subirle unas 100 rpm o menos, también deja de escucharse. Cuando aprietas el embrague, tiene cierto sentido, ya que dejas de arrastrar el primario de la caja de cambios (se dice asi???) y puede que el motor gire un pelin mas rápido, lo suficiente para que deje de actuar.
Yo, hasta donde mis pocos conocimientos llegan, creo que seria tan sencillo como acoplar un muelle de empuje mas blando a la válvula descompresora, para que deje de actuar a menos revoluciones. O eso, o aumentar un poco la masa del "gatillo".
Espero no haber metido la zarpa hasta la rodilla con las explicación, jeje. Si alguien ve algún error, que me corrija.
Un saludo.