Lo que yo tengo entendido y en función de ello aplico una u otra:
Litio: grasa más o menos estándar, multiusos tanto para lubricar como para proteger de humedad (corrosión). Todo ello en condiciones normales

Para casi cualquier función muy específica hay una grasa también específica más adecuada. Pero muchas veces no es necesario usar grasas top, carísimas, para lubricar elementos que no lo necesitan... y ahí entra en juego la de litio.
Cobre: para zonas expuestas a muy altas temperaturas (por ejemplo: pernos de los colectores de escape). También las empleo en algunos casos con altos aprietes, como los pernos de las ruedas de los coches, para prevenir su agarrotamiento.
Con bisulfuro de molibdeno (MoS2): para zonas con difícil acceso (lo que hace que por dejadez no se lubriquen a menudo) y/o que giran muy rápido y tienden a "escupir" la grasa que las lubrica. En estas circunstancias destaca sobre otras el MoS2 ya que queda muy adherido y no se deprende, por lo que permanece mucho tiempo lubricando. Además soporta temperaturas altas y fuertes cargas. El ejemplo más típico que se ve en el foro: estriados de embrague, cajas de cambios y de barra del cardán.
Y de regalo:
Aceites de silicona: para plásticos, gomas...