el sintoma que describes es sin duda la bateria,al menos en las de gel pasa asi,que si no la han cambiado antes es la que lleva tu moto,en el caso de mi k1200gt lleva una EXIDE gel 12v-19ah y con 39000 km y casi 7 años es la original que venia de la casa,te comento que al comprar la moto me recomendaron el mantenedor original de BMW para prevenir la descarga de la bateria,ya que yo no uso la moto a diario y al tener tanto consumo electrico no hubiera ganado para comprar baterias,aun teniendo enchufado el mantenedor,si por un periodo prolongado no cojo la moto y noto al arrancar por primera vez que esta algo baja,con el cargador normal le meto una carga de 6 horas y ya esta otra temporada a tope,prueba a cargarla que igual te tira otra temporada,pero si no te fias cambiala lo antes posible,estan en torno a los 90 euros en el caso de la EXIDE,pero la gente habla muy bien de las ODYSSEY,aunque son algo mas caras,lo que no debes de hacer es seguir arrancando la moto a empujon,si te cargas el catalizador preparate.
un saludo